Algebraische Kurven/Quadrik durch fünf Punkte/Textabschnitt

Quadriken durch vorgegebene Punkte

Es ist klar, dass es durch zwei verschiedene Punkte in der affinen Ebenen genau eine affine Gerade gibt. Durch einen Punkt (wenn also die beiden Punkte zusammenfallen) gibt es hingegen eine ganze Schar von Geraden. Durch drei Punkte gibt es im Allgemeinen keine Gerade, es sei denn, die Punkte sind kolinear. Etwas grundsätzlich ähnliches gilt auch für Quadriken.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien

${}(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4}),(x_{5},y_{5})\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

fünf vorgegebene Punkte.

Dann gibt es mindestens eine Quadrik

${}Q=V(F)\,,$

auf der diese fünf Punkte liegen.

Beweis

Jede Quadrik hat die Gestalt

${}F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,$

mit Koeffizienten ${}\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon ,\eta \in K$. Die Aussage beruht darauf, dass man hier sechs freie Variablen hat, denen fünf Bedingungen gegenüber stehen. Für die fünf Punkte ergeben sich die fünf Bedingungen

1. ${}\alpha x_{1}^{2}+\beta x_{1}y_{1}+\gamma y_{1}^{2}+\delta x_{1}+\epsilon y_{1}+\eta =0$
2. ${}\alpha x_{2}^{2}+\beta x_{2}y_{2}+\gamma y_{2}^{2}+\delta x_{2}+\epsilon y_{2}+\eta =0$
3. ${}\alpha x_{3}^{2}+\beta x_{3}y_{3}+\gamma y_{3}^{2}+\delta x_{3}+\epsilon y_{3}+\eta =0$
4. ${}\alpha x_{4}^{2}+\beta x_{4}y_{4}+\gamma y_{4}^{2}+\delta x_{4}+\epsilon y_{4}+\eta =0$
5. ${}\alpha x_{5}^{2}+\beta x_{5}y_{5}+\gamma y_{5}^{2}+\delta x_{5}+\epsilon y_{5}+\eta =0$.

Das sind fünf lineare Bedingungen in den sechs Variablen (hier sind also die griechischen Buchstaben die Variablen, nicht ${}x$ und ${}y$). Dafür gibt es eine nicht-triviale Lösung, bei der nicht alle Koeffizenten null sind. Sind in einer gefundenen Lösung ${}\alpha =\beta =\gamma =0$, so liegt zunächst die Gleichung einer Geraden, also keine Quadrik vor. Man kann daraus aber durch Multiplikation mit einer weiteren Geradengleichung eine Quadrik erhalten.

$\Box$