Allgemeine Transformationsformel/Substitutionsregel/Bemerkung

Wenn ${}M=[c,d]$ und ${}N=[a,b]$ und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare bijektive streng wachsende Funktion ist, so gilt für eine stetige Funktion

$f\colon N\longrightarrow \mathbb {R}$

die Substitutionsregel

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\int _{c}^{d}f(\varphi (s))\cdot \varphi '(s)\,ds\,.$

Um eine mit der allgemeinen Transformationsformel vergleichbare Substitutionsformel zu haben, muss man auf ${}M$ die Funktion ${}g=f\circ \varphi$ mit dem Maß ${}\lambda ^{1}$ und auf ${}N$ die Funktion ${}f=(f\circ \varphi )\circ \varphi ^{-1}$ betrachten. Die Substitutionsregel liefert dann

${}\int _{c}^{d}f(\varphi (s))ds=\int _{a}^{b}f(\varphi (\varphi ^{-1}(t)))\cdot (\varphi ^{-1})'(t)dt=\int _{a}^{b}f(t){\frac {1}{\varphi '(\varphi ^{-1}(t))}}dt\,.$

Links steht das Integral ${}\int _{M}f\circ \varphi d\lambda ^{1}$, also muss rechts das Integral ${}\int _{N}fd\varphi _{*}\lambda ^{1}$ stehen. Somit wird das Bildmaß ${}\varphi _{*}\lambda ^{1}$ durch die Dichte ${}{\frac {1}{\varphi '(\varphi ^{-1}(t))}}$ bezüglich ${}\lambda ^{1}$ gegeben. Das Bildmaß ist auch durch

${}{\begin{aligned}{\left(\varphi _{*}\lambda ^{1}\right)}{\left([r,s]\right)}&=\lambda ^{1}{\left(\varphi ^{-1}([r,s])\right)}\\&=\lambda ^{1}{\left([\varphi ^{-1}(r),\varphi ^{-1}(s)]\right)}\\&=\varphi ^{-1}(s)-\varphi ^{-1}(r)\\&=\int _{r}^{s}{\frac {1}{\varphi '(\varphi ^{-1}(u))}}du\end{aligned}}$

bestimmt.