Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/Test 4/Aufgabe/Lösung

1. Ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}d$ besitzt maximal ${}d$ Nullstellen.
2. Es seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei ${}y\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen ${}f(a)$ und ${}f(b)$. Dann gibt es ein ${}x\in [a,b]$ mit ${}f(x)=y$.
3. Seien ${}D$ und ${}E$ offene Mengen in ${}{\mathbb {K} }$ und seien

   $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   und

   $g\colon E\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   Funktionen mit ${}f(D)\subseteq E$. Es sei ${}f$ in ${}a$ differenzierbar und ${}g$ sei in ${}b=f(a)$ differenzierbar. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

   $g\circ f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   in ${}a$ differenzierbar mit der Ableitung

   $(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a).$

4. Es sei ${}a<b$ und sei

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige, auf ${}]a,b[$ differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein ${}c\in {]a,b[}$ mit

   ${}f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe