Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe/Lösung

1. Für ${}x\in \mathbb {R}$, ${}x>-1$, heißt die Funktion

   $x\longmapsto \operatorname {Fak} \,(x):=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$

   die Fakultätsfunktion.

2. Die Abbildung ${}f$ heißt stetig in ${}x$, wenn für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart existiert, dass

   ${}f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$

   gilt.

3. Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten ist eine Differentialgleichung der Form

   ${}v'=Mv\,,$

   wobei

   ${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$

   eine Matrix mit Einträgen ${}a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist.

4. Die ${}n$-fache stetige Differenzierbarkeit liegt vor, wenn für jede Auswahl ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}n$ Vektoren aus ${}V$ die höhere Richtungsableitung

   $D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f)\ldots )$

   in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert und stetig ist.

5. Die Niveaumenge zu ${}f$ zum Wert ${}c$ ist

   ${}N_{c}={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid f(x)=c\right\}}\,.$

6. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

   $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

   ein Vektorfeld auf ${}U$. Man sagt, dass das Vektorfeld ${}f$ einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es eine reelle Zahl ${}L\geq 0$ gibt mit

   $\Vert {f(t,u)-f(t,v)}\Vert \leq L\cdot \Vert {u-v}\Vert$

   für alle ${}t\in I$ und ${}u,v\in U$.

Zur gelösten Aufgabe