Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Die offene Kugel zum Mittelpunkt ${}x$ und Radius ${}r$ ist durch

   ${}U{\left(x,r\right)}={\left\{y\in M\mid d(x,y)<r\right\}}\,$

   definiert.

2. Eine Abbildung

   $v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$

   auf einem offenen (Teil)Intervall ${}J\subseteq I$ heißt eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

   1. Es ist ${}v(t)\in U$ für alle ${}t\in J$.
   2. Die Abbildung ${}v$ ist differenzierbar.
   3. Es ist ${}v'(t)=f(t,v(t))$ für alle ${}t\in J$.
3. Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von ${}f$ in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung ${}v_{n}$ existiert.
4. Die Abbildung

   $\operatorname {Hess} _{P}\,f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto D_{u}D_{v}f(P),$

   heißt die Hesse-Form im Punkt ${}P\in V$.

5. Unter dem Tangentiaraum in ${}P$ an die Faser versteht man

   ${\left\{v\in V\mid {\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}=0\right\}}.$

6. Man sagt, dass die Abbildungsfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

   $f\colon T\longrightarrow M$

   derart gibt, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}n_{0}$ gibt mit

   $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T.$

Zur gelösten Aufgabe