Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine nichtleere kompakte Teilmenge und sei

   $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion.

   Dann gibt es ein ${}x\in T$ mit

   $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in T.$

2. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(p,q)$. Dann ist die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit ${}p$ positiven und ${}q$ negativen Einträgen.
3. Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, ${}G\subseteq V$ offen und

   $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine in ${}P\in G$ differenzierbare Funktion. Es sei

   $h\colon I\longrightarrow G$

   eine differenzierbare Kurve mit ${}h(0)=P$, die ganz innerhalb einer Niveaumenge von ${}f$ verläuft. Dann steht der Gradient

   zu ${}f$ senkrecht auf ${}h'(0)$.

Zur gelösten Aufgabe