Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine nichtleere kompakte Teilmenge und sei

   $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion.

   Dann gibt es ein ${}x\in T$ mit

   $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in T.$

2. Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

   $g\colon [a,b]\longrightarrow V$

   eine stetige Abbildung. Dann gilt

   ${}\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert \leq \int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt\,.$

3. Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen, ${}P\in G$ ein Punkt und sei

   $f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$

   eine Abbildung. Dann ist ${}\varphi$ in ${}P$ genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen

   von sämtlichen Komponentenfunktionen ${}f_{j}$ in ${}P$ in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.

Zur gelösten Aufgabe