Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}I=[1,\infty ]$ ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und sei

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige fallende Funktion mit ${}f(x)\geq 0$ für alle ${}x\in I$. Dann existiert das uneigentliche Integral

   $\int _{1}^{\infty }f(t)\,dt$

   genau dann, wenn die Reihe

   $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

   konvergiert.
2. Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge, und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine im Punkt ${}P\in G$ differenzierbare Abbildung. Dann ist ${}\varphi$ in ${}P$ in jede Richtung ${}v$ differenzierbar, und es gilt

   ${}{\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\,.$

3. Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ eine kompakte Teilmenge, es sei ${}E$ ein euklidischer Vektorraum und es sei

   $C=C(T,E)$

   der Vektorraum der stetigen Abbildungen von ${}T$ nach ${}E$. Dann ist ${}C$, versehen mit der Maximumsnorm, ein

   vollständiger metrischer Raum.

Zur gelösten Aufgabe