Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}{\mathbb {K} }^{n}$ mit der euklidischen Metrik versehen und sei

   $\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m}$

   eine lineare Abbildung. Dann ist ${}\varphi$

   stetig.
2. Es sei

   ${}v'=Mv\,$

   mit

   $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$

   eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Matrix ${}M$ sei diagonalisierbar mit den linear unabhängigen Eigenvektoren ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$. Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich

   ${\left\{c_{1}e^{\lambda _{1}t}\cdot u_{1}+\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\cdot u_{n}\mid c_{i}\in {\mathbb {K} }\right\}},$

   wobei ${}\lambda _{i}$ der Eigenwert zu ${}u_{i}$ ist.
3. Für alle ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ gilt die Beziehung

   ${}f(P+v)=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+R_{k}(v)\,,$

   wobei

   $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\frac {\Vert {R_{k}(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}=0$

   ist.

Zur gelösten Aufgabe