Anfangswertproblem/1/y' ist y^2t-y+t^3+e^t/Anfang 0/Potenzreihenansatz/Beispiel

Wir betrachen das Anfangswertproblem

$y'=y^{2}t-y+t^{3}+e^{t}{\text{ mit }}y(0)=0$

und wollen es mit einem Potenzreihenansatz lösen. Es sei also

${}y(t)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\,,$

die auszuwertende Potenzreihengleichung ist somit

${}{\begin{aligned}{\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\right)}^{\prime }&=\sum _{k=1}^{\infty }ka_{k}t^{k-1}\\&={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\right)}^{2}t-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}+t^{3}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}t^{k}.\end{aligned}}$

Die Anfangsbedingung legt ${}a_{0}=0$ fest. Für den konstanten Term (also zu ${}t^{0}$) ergibt sich aus der Potenzreihengleichung

${}a_{1}=-a_{0}+1=1\,.$

Für ${}t^{1}$ ergibt sich

${}2a_{2}=a_{0}^{2}-a_{1}+1=0\,.$

Für ${}t^{2}$ ergibt sich

${}3a_{3}=2a_{0}a_{1}-a_{2}+{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\,$

also ist ${}a_{3}={\frac {1}{6}}$. Für ${}t^{3}$ ergibt sich

${}4a_{4}=2a_{0}a_{2}+a_{1}^{2}-a_{3}+1+{\frac {1}{6}}=1-{\frac {1}{6}}+1+{\frac {1}{6}}=2\,,$

also ist ${}a_{4}={\frac {1}{2}}$. Für ${}t^{4}$ ergibt sich

${}5a_{5}=2a_{0}a_{3}+2a_{1}a_{2}-a_{4}+{\frac {1}{24}}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}=-{\frac {11}{24}}\,,$

also ist ${}a_{5}=-{\frac {11}{120}}$. Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung ${}5$ ist demnach

$t+{\frac {1}{6}}t^{3}+{\frac {1}{2}}t^{4}-{\frac {11}{120}}t^{5}.$