Angeordneter Körper/Wurzel/Maximal eine positive/Fakt/Beweis2

Beweis

Bei ${}a=0$ ist auch ${}x=0$, sei also ${}a$ positiv. Es seien ${}x,y\in K_{+}$ Elemente mit

${}x^{n}=y^{n}=a\,.$

Dann ist

${}{\left({\frac {x}{y}}\right)}^{n}={\frac {x^{n}}{y^{n}}}={\frac {a}{a}}=1\,.$

Aus ${}{\frac {x}{y}}>1$ bzw. ${}{\frac {x}{y}}<1$ ergibt sich sofort ein Widerspruch wegen Fakt  (6). Somit ist ${}{\frac {x}{y}}=1$ und ${}x=y$.

Zur bewiesenen Aussage