Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbrüche/Folge/Beidseitig unendlich/Aufgabe/Lösung

1. Ähnlich wie bei Dezimalbruchfolgen sei die Folge dadurch gegeben, dass nur die Ziffern bis zur ${}n$-ten Vorkommaziffer und bis zur ${}n$-ten Nachkommaziffer berücksichtigt werden, also

   ${}x_{n}=\sum _{i=-n}^{n}z_{i}10^{i}\,.$

2. Es ist

   ${}x_{n+1}=x_{n}+z_{n+1}10^{n+1}+z_{-n-1}10^{-n-1}\,.$

3. Die Folge ist genau dann eine Cauchy-Folge, wenn vor dem Komma alle Ziffern ${}z_{n}$ ab einer bestimmten Stelle ${}n_{0}$ gleich ${}0$ sind. In diesem Fall liegt (ab dem ${}n_{0}$-ten Folgenglied) eine gewöhnliche Dezimalbruchfolge vor, und diese ist nach Fakt eine Cauchy-Folge. Wenn hingegen unendlich viele Vorkommazifferen ungleich ${}0$ sind, so ist die Folge unbeschränkt, und kann nach Fakt keine Cauchy-Folge sein.

Zur gelösten Aufgabe