Aussagenlogik/Maximal widerspruchsfrei/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Wegen der Widerspruchsfreiheit können nicht sowohl ${}\alpha$ als auch ${}\neg \alpha$ zu ${}\Gamma$ gehören. Wenn weder ${}\alpha$ noch ${}\neg \alpha$ zu ${}\Gamma$ gehören, so ist entweder ${}\Gamma \cup \{\alpha \}$ oder ${}\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ widerspruchsfrei. Wären nämlich beide widersprüchlich, so würde für einen beliebigen Ausdruck ${}\beta$ sowohl

$\Gamma \cup \{\alpha \}\vdash \beta$

als auch

$\Gamma \cup \{\neg \alpha \}\vdash \beta$

gelten. Dies bedeutet nach Aufgabe

$\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$

und

$\Gamma \vdash \neg \alpha \rightarrow \beta ,$

woraus aufgrund der Fallunterscheidungsregel

$\Gamma \vdash \beta$

folgt. Dies bedeutet aber, dass ${}\Gamma$ widersprüchlich ist.
(2). Es sei ${}\Gamma \vdash \alpha$. Nach (1) ist ${}\alpha \in \Gamma$ oder ${}\neg \alpha \in \Gamma$. Das zweite kann nicht sein, da sich daraus sofort ein Widerspruch ergeben würde. Also ist ${}\alpha \in \Gamma$.
(3) folgt aus (2) und der Konjunktionsregel.
(4). Aufgrund von (1) und Aufgabe müssen wir die Äquivalenz ${}\neg {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\in \Gamma$ genau dann, wenn ${}\alpha \in \Gamma$ und ${}\neg \beta \in \Gamma$ zeigen. Dies ergibt sich aus (3).

Zur bewiesenen Aussage