Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation/Durch Negation und Konjunktion/Aufgabe/Lösung

1. Mit (einer Variante von) Fakt ist

   $\vdash \alpha \rightarrow {\left({\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\rightarrow \beta \right)}.$

   Mit Kontraposition des Nachsatzes ergibt sich daraus

   $\vdash \alpha \rightarrow {\left(\neg \beta \rightarrow \neg {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\right)}.$

   Mit Axiom  (4) folgt

   $\vdash \alpha \wedge \neg \beta \rightarrow \neg {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}$

   und mit Kontraposition

   $\vdash {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\rightarrow \neg {\left(\alpha \wedge \ \neg \beta \right)}.$

2. Es ist

   $\vdash \beta \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}$

   und

   $\vdash \neg \alpha \rightarrow {\left(\neg \beta \rightarrow \neg \alpha \right)}$

   nach Axiom  (1). Mit Fakt  (6) (Kontraposition) ergibt sich

   $\vdash {\left(\neg \beta \rightarrow \neg \alpha \right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}$

   und daraus und der zweiten Zeile mit der Kettenschlussregel

   $\vdash \neg \alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}.$

   Mit Kontraposition (als Regel) ergibt sich aus der ersten und der letzten Zeile unter Verwendung von Fakt wiederum

   $\vdash \neg {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\rightarrow \neg \beta$

   und

   $\vdash \neg {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\rightarrow \alpha .$

   Daraus ergibt sich wegen Axiom  (3)

   $\vdash \neg {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\rightarrow \alpha \wedge \neg \beta$

   und somit

   $\vdash \neg {\left(\alpha \wedge \neg \beta \right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}.$

Zur gelösten Aufgabe