Bernoulli-Zahlen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Die durch die Reihe

${}{\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum {\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}\,$

festgelegten Zahlen ${}B_{n}$ nennt man Bernoulli-Zahlen.

Die Funktion ${}e^{z}-1$ besitzt im Nullpunkt eine einfache Nullstelle, deshalb ist ${}{\frac {e^{z}-1}{z}}$ nullstellenfrei im Nullpunkt und daher besitzt die inverse Funktion ${}{\frac {z}{e^{z}-1}}$ eine Potenzreihenentwicklung im Nullpunkt. Diese ist die exponentiell erzeugende Funktion für die Bernoulli-Zahlen.

Lemma

Die Bernoulli-Zahlen

erfüllen ${}B_{0}=1$ und für ${}m\geq 1$ die rekursive Bedingung

${}\sum _{j=0}^{m}{\binom {m+1}{j}}B_{j}=0\,.$

Beweis

Aus der Bedingung

${}{\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}z^{k}\right)}=z\,$

folgt

${}{\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)!}}z^{k}\right)}=1\,.$

Daraus folgt ${}B_{0}=0$. Der Koeffizient zu ${}z^{m}$ zu ${}m\geq 1$ der Produktreihe ist

${}\sum _{n=0}^{m}{\binom {m}{n}}B_{n}\cdot {\frac {1}{m-n+1}}=0\,.$

Multipliziert mit ${}m+1$ ergibt sich

${}{\begin{aligned}(m+1){\left(\sum _{n=0}^{m}{\binom {m}{n}}B_{n}\cdot {\frac {1}{m-n+1}}\right)}&=\sum _{n=0}^{m}{\binom {m}{n}}\cdot {\frac {m+1}{m-n+1}}\cdot B_{n}\\&=\sum _{n=0}^{m}{\binom {m+1}{n}}B_{n}\\&=0.\end{aligned}}$

$\Box$

Die ersten Bernoulli-Zahlen sind

	${}B_{0}$	${}B_{1}$	${}B_{2}$	${}B_{4}$	${}B_{6}$	${}B_{8}$	${}B_{10}$
	${}1$	${}-{\frac {1}{2}}$	${}{\frac {1}{6}}$	${}-{\frac {1}{30}}$	${}{\frac {1}{42}}$	${}-{\frac {1}{30}}$	${}{\frac {5}{66}}$

Es ist

${}{\begin{aligned}\cot z&={\frac {\cos z}{\sin z}}\\&={\mathrm {i} }\cdot {\frac {e^{{\mathrm {i} }z}+e^{-{\mathrm {i} }z}}{e^{{\mathrm {i} }z}-e^{-{\mathrm {i} }z}}}\\&={\mathrm {i} }\cdot {\frac {e^{2{\mathrm {i} }z}+1}{e^{2{\mathrm {i} }z}-1}}\\&={\mathrm {i} }-2{\mathrm {i} }{\frac {1}{e^{2{\mathrm {i} }z}-1}}\\&={\mathrm {i} }+z^{-1}\beta (2{\mathrm {i} }z),\end{aligned}}$

wobei wir ${}\beta (z)={\frac {z}{e^{z}-1}}$ gesetzt haben.