Binäre Diedergruppe/Invariantenring über xy-z^n/Beispiel

Es sei ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ und es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2$, der eine vierte primitive Einheitswurzel ${}{\mathrm {i} }$ und eine ${}2m$-te primitive Einheitswurzel ${}\zeta$ enthalte. Wir betrachten die von den Matrizen

$A={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{-1}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}$

erzeugte Untergruppe ${}G$ (die man auch als ${}BD_{m}$ bezeichnet) der ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(K\right)}$ mit ihrer natürlichen Operation auf ${}R=K[U,V]$. Es sei ${}H\subseteq G$ die von ${}A$ erzeugte zyklische Untergruppe der Ordnung ${}2m$. Da ${}G$ die Ordnung ${}4m$ besitzt, ist ${}H$ ein Normalteiler in ${}G$. Daher können wir mit Hilfe von Fakt  (3) und Beispiel den Invariantenring ${}K[U,V]^{G}$ ausrechnen. Es ist ja

${}S:=K[U,V]^{H}=K[U^{2m},V^{2m},UV]=K[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{2m}\right)}\,.$

Die Operation des nichttrivialen Elementes aus ${}G/H\cong \mathbb {Z} /(2)$ auf diesem Invariantenring wird durch die Operation von ${}B$ auf ${}K[U,V]$ repräsentiert. Sie ist also durch ${}U\mapsto {\mathrm {i} }V$ und ${}V\mapsto {\mathrm {i} }U$ gegeben und induziert

$X=U^{2m}\longmapsto {\mathrm {i} }^{2m}V^{2m}=\rho Y,$

$Y=V^{2m}\longmapsto {\mathrm {i} }^{2m}U^{2m}=\rho X,$

$Z=UV\longmapsto {\mathrm {i} }^{2}UV=-Z,$

wobei ${}\rho =\pm 1$ ist, je nachdem, ob ${}m$ gerade oder ungerade ist.

Durch diese Operation ist ${}S$ ${}\mathbb {Z} /(2)$-graduiert. Bei ${}m$ gerade sind

$X+Y,Z^{2},Z(X-Y)$

invariante Polynome (bei ${}m$ ungerade $X-Y,Z^{2},Z(X+Y)$) und ${}Z$ und ${}X-Y$ sind semiinvariante Polynome. Mittels ${}X={\frac {1}{2}}(X+Y)+{\frac {1}{2}}(X-Y)$ und ${}Y={\frac {1}{2}}(X+Y)-{\frac {1}{2}}(X-Y)$ lässt sich für jedes Monom ${}X^{i}Y^{j}Z^{k}$ die homogene Zerlegung bezüglich dieser Graduierung angeben (wegen $(X-Y)^{2}=(X+Y)^{2}-4Z^{2m}$ kann diese Invariante durch die anderen ausgedrückt werden). Deshalb bilden ${}L=X+Y,\,M=Z^{2},\,N=Z(X-Y)$ ein Algebraerzeugendensystem des Invariantenringes

${}R^{G}=S^{\mathbb {Z} /(2)}\,.$

Es besteht die Relation

${}{\begin{aligned}N^{2}&=Z^{2}(X-Y)^{2}\\&=M{\left(X^{2}+Y^{2}-2XY\right)}\\&=M{\left(L^{2}-4XY\right)}\\&=ML^{2}-4MM^{m}\\&=ML^{2}-4M^{m+1}.\end{aligned}}$

Da das Polynom

$N^{2}-ML^{2}+4M^{m+1}$

irreduzibel ist, und der Invariantenring zweidimensional sein muss, ist

${}R^{G}\cong K[L,M,N]/{\left(N^{2}-ML^{2}+4M^{m+1}\right)}\,.$

Unter schwachen Bedingungen an den Körper ${}K$ ist dieser Ring isomorph zu

$K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+YZ^{2}+Y^{m+1}\right)}.$