Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper, der eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel ${}\xi$ enthalte. Wir betrachten die Untergruppe

${}G={\left\{{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{-1}\end{pmatrix}}\mid \zeta ^{n}=1\right\}}\subseteq \operatorname {GL} _{2}\!{\left(K\right)}\,$

und die zugehörige Operation auf ${}K^{2}$ bzw. auf ${}K[U,V]$. Es handelt sich um eine zyklische Gruppe der Ordnung ${}n$, die von

${}g={\begin{pmatrix}\xi &0\\0&\xi ^{-1}\end{pmatrix}}\,$

erzeugt wird. Die Operation von ${}g$ auf ${}K[U,V]$ ist durch ${}U\mapsto \xi U$ und ${}V\mapsto \xi ^{-1}V$ gegeben. Offenbar sind

$X=U^{n},\,Y=V^{n},\,Z=UV$

invariante Polynome unter dieser Gruppenoperation, die in der Beziehung

${}XY=Z^{n}\,$

stehen. Dass diese drei Invarianten den Invariantenring erzeugen, sieht man am besten, wenn man die Situation graduiert realisiert. Dazu sei der Polynomring ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$-graduiert, wobei ${}U$ den Grad ${}(1,0)$ und ${}V$ den Grad ${}(0,1)$ besitze. Wir betrachten den Gruppenhomomorphismus

$\delta \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} /(n)=:D,\,(a,b)\longmapsto a-b,$

und die zugehörige ${}D$-Graduierung des Polynomringes. Wir identifizieren die Charaktergruppe ${}D^{\vee }$ mit der obigen Gruppe ${}G$, indem wir

$\chi \colon D\longrightarrow K^{\times }$

mit ${}{\begin{pmatrix}\chi (1)&0\\0&\chi (-1)\end{pmatrix}}$ identifizieren. Bei dieser Identifizierung entspricht die obige explizite Operation von ${}G$ auf ${}K[U,V]$ der natürlichen Operation der Charaktergruppe gemäß Fakt. Nach Fakt ist der Invariantenring unter der ${}G$-Operation gleich der neutralen Stufe unter der ${}D$-Graduierung. Der Kern von ${}\delta$ wird durch ${}(n,0),(0,n),(1,1)$ erzeugt. Die zugehörigen Stufen bilden somit den Invariantenring. Der Invariantenring ist also ${}K[U^{n},V^{n},UV]$.