Binomialkoeffizient/Abschätzung zum Mittelpunkt/Summe/Fakt/Beweis

Beweis

1. Siehe Aufgabe.
2. Nach Aufgabe ist

   ${}{\binom {n}{k+1}}={\frac {n-k}{k+1}}\cdot {\binom {n}{k}}\,.$

   Somit besteht zwischen ${}{\binom {n}{{\frac {1}{2}}n}}$ und ${}{\binom {n}{{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }}$ der Zusammenhang

   ${}{\begin{aligned}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}&={\frac {{\frac {n}{2}}+1}{\frac {n}{2}}}\cdot {\binom {n}{{\frac {n}{2}}-1}}\\&={\frac {{\frac {n}{2}}+1}{\frac {n}{2}}}\cdot {\frac {{\frac {n}{2}}+2}{{\frac {n}{2}}-1}}\cdot {\binom {n}{{\frac {n}{2}}-2}}\\&={\frac {{\frac {n}{2}}+1}{\frac {n}{2}}}\cdot {\frac {{\frac {n}{2}}+2}{{\frac {n}{2}}-1}}\cdots {\frac {{\frac {n}{2}}+\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}{{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }}\cdot {\binom {n}{{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }}.\end{aligned}}$

   Dies bedeutet umgekehrt

   ${}{\begin{aligned}{\binom {n}{{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }}&={\frac {\frac {n}{2}}{{\frac {n}{2}}+1}}\cdot {\frac {{\frac {n}{2}}-1}{{\frac {n}{2}}+2}}\cdots {\frac {{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }{{\frac {n}{2}}+\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}}\cdot {\binom {n}{\frac {n}{2}}}\\&={\frac {{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }{{\frac {n}{2}}+1}}\cdot {\frac {{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}{{\frac {n}{2}}+2}}\cdots {\frac {\frac {n}{2}}{{\frac {n}{2}}+\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}}\cdot {\binom {n}{\frac {n}{2}}}.\end{aligned}}$

   Die Faktoren sind alle von der Form

   ${\frac {{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor -1+i}{{\frac {n}{2}}+i}}$

   mit ${}i=1,\ldots ,\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1$. Sie sind alle ${}<1$ und für das maximale ${}i$, also für ${}\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1$, am größten. Da es ${}\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1$ viele Faktoren gibt, kann man das Produkt unter Verwendung von Fakt  (1), Fakt  (6) und Fakt  (8) durch

   ${}{\begin{aligned}{\left({\frac {\frac {n}{2}}{{\frac {n}{2}}+\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}}\right)}^{\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}&\leq {\left({\frac {\frac {n}{2}}{{\frac {n}{2}}+\beta n}}\right)}^{\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}\\&\leq {\left({\frac {\frac {n}{2}}{{\frac {n}{2}}+\beta n}}\right)}^{\beta n}\\&={\left({\frac {\frac {1}{2}}{{\frac {1}{2}}+\beta }}\right)}^{\beta n}\\&={\left({\left({\frac {1}{1+2\beta }}\right)}^{\beta }\right)}^{n}\end{aligned}}$

   nach oben abschätzen. Also ist

   ${}{\binom {n}{{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }}\leq {\left({\left({\frac {1}{1+2\beta }}\right)}^{\beta }\right)}^{n}\cdot {\binom {n}{\frac {n}{2}}}\,.$

3. Dies folgt aus (2), da die Binomialkoeffizienten in diesem Bereich wachsend sind und da es ${}{\left({\frac {n}{2}}+1-\left\lfloor \beta n\right\rfloor \right)}$ Summanden gibt.
4. Nach (1) konvergiert ${}{\frac {\binom {n}{n/2}}{2^{n}}}$ gegen ${}0$. Nach (3) genügt es daher, zu zeigen, dass

   ${\left({\frac {n}{2}}+1-\left\lfloor \beta n\right\rfloor \right)}{\left({\left({\frac {1}{1+2\beta }}\right)}^{\beta }\right)}^{n}$

   gegen ${}0$ konvergiert. Dieser Ausdruck ist aber (beschränkt durch) von der Form

   $n\cdot \gamma ^{n}$

   mit ${}\gamma <1$, also nach Fakt konvergent gegen ${}0$.

Zur bewiesenen Aussage