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Binomialverteilung/Relative Häufigkeit/Tschebyschow-Abschätzung/Fakt/Beweis
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<
Binomialverteilung/Relative Häufigkeit/Tschebyschow-Abschätzung/Fakt
Beweis
Es ist
∑
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
∈
{
0
,
1
}
n
(
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
−
p
)
2
P
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
≥
∑
{
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
{
0
,
1
}
n
∣
|
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
−
p
|
≥
ϵ
}
(
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
−
p
)
2
P
(
x
1
,
…
,
x
n
)
≥
∑
{
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
{
0
,
1
}
n
∣
|
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
−
p
|
≥
ϵ
}
ϵ
2
P
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
ϵ
2
∑
{
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
{
0
,
1
}
n
∣
|
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
−
p
|
≥
ϵ
}
P
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
ϵ
2
⋅
P
(
{
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
{
0
,
1
}
n
∣
|
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
−
p
|
≥
ϵ
}
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p\right)}^{2}P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&\geq \sum _{\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}\mid \vert {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p}\vert \geq \epsilon \right\}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p\right)}^{2}P(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&\geq \sum _{\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}\mid \vert {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p}\vert \geq \epsilon \right\}}\epsilon ^{2}P(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&=\epsilon ^{2}\sum _{\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}\mid \vert {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p}\vert \geq \epsilon \right\}}P(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&=\epsilon ^{2}\cdot P{\left({\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}\mid \vert {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p}\vert \geq \epsilon \right\}}\right)}.\end{aligned}}}
Aus
Fakt
folgt somit die Behauptung.
Zur bewiesenen Aussage