Bogenparametrisierte ebene Kurve/Zweite Fundamentalform/Weingartenabbildung/Gaußkrümmung/Aufgabe

Es sei ${}\gamma \colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine differenzierbare bogenparametrisierte injektive Kurve mit der Bildkurve

${}C\subseteq V\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,,$

die in der offenen Teilmenge ${}V$ abgeschlossen sei. Wir betrachten den Zylinder über diesen Kurven, also die Abbildung

$\varphi =\gamma \times \operatorname {Id} _{\mathbb {R} }\colon ]a,b[\times \mathbb {R} \longrightarrow C\times \mathbb {R} .$

1. Berechne die erste und die zweite Fundamentalmatrix von ${}\varphi$,
2. Berechne die Weingartenabbildung bezüglich der Basis ${}\partial _{1}\varphi ,\partial _{2}\varphi$.
3. Berechne die Hauptkrümmungen von ${}C\times \mathbb {R}$.
4. Berechne die Gaußkrümmung von ${}C\times \mathbb {R}$.

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