Borel-Lebesgue-Maß/R^n/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt

Satz über die Existenz des Borel-Lebesgue-Maßes

Der ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei mit der ${}\sigma$ -Algebra der Borel-Mengen ${}{\mathcal {B}}^{n}$ versehen.

Dann gibt es auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$ genau ein ( ${}\sigma$ -endliches) Maß

$\lambda ^{n}\colon {\mathcal {B}}^{n}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \lambda ^{n}(T),$

das für alle Quader

{}Q=[a_{1},b_{1}[\times \cdots \times [a_{n},b_{n}[\,

den Wert

{}\lambda ^{n}(Q)=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})\,

besitzt.

Die Aussage gilt auch für (achsenparallele) Quader mit offenen bzw. abgeschlossenen Intervallen als Seiten.