Borel-Lebesgue-Maß/Zur Berechnung als äußeres Maß/Bemerkung

Das Borel-Lebesgue-Maß ordnet also jeder Borel-Menge eine reelle Zahl oder das Symbol ${}\infty$ zu. Die Quader bilden dabei die Grundkörper, denen auf eine besonders einfache Weise ein Maß zugeordnet wird, wodurch das gesamte Maß festgelegt wird. Für eine beliebige messbare Menge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist dabei ${}\lambda (T)$ gegeben als das Infimum von ${}\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})$ über alle abzählbaren Überpflasterungen von ${}T$ mit Quadern (so war eben das äußere Maß definiert, mit dessen Hilfe wir den Fortsetzungssatz für Maße aufstellen konnten). Es gibt kein allgemeines Verfahren, für gegebene Mengen (beispielsweise Flächenstücke, Körper) ihr Maß (ihren Flächeninhalt, ihr Volumen) effektiv zu bestimmen. Eine wichtige Technik ist die Integration von Funktionen in einer und in mehreren Variablen.