Cech-Kohomologie/Abgeleitete Kohomologie/Endliche azyklische Überdeckung/Übereinstimmung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei eine Einbettung in eine injektive Garbe und

die zugehörige kurze exakte Garbensequenz. Aufgrund der langen exakten Kohomologiesequenz (siehe Fakt  (3)) und wegen Fakt ist

Wir definieren zuerst einen Homomorphismus

Ein Schnitt legt Restriktionen fest. Da auf den keine Kohomologie besitzt, gibt es

die auf die abbilden. Die Elemente (zu )

werden auf in abgebildet, daher ist

Für Indizes ist

deshalb ist die Kozykelbedingung erfüllt. Somit ist die Familie ein Čech-Kozykel und definiert ein Element in . Diese Zuordnung ist unabhängig von den gewählten und ein Gruppenhomomorphismus, siehe Aufgabe. Es sei nun das Bild eines globalen Elementes . Dann kann man die als ansetzen und daher sind die zu konstruierten alle gleich . Ein solches Element wird also unter der angegebenen Abbildung auf abgebildet. Dies ergibt nach Fakt eine Faktorisierung

Es sei nun umgekehrt ein erster Čech-Kozykel von gegeben, der durch

mit repräsentiert sei. Wir fassen die in auf, und zwar als globale Elemente, was aufgrund der Welkheit von injektiven Garben möglich ist. Wir definieren

(mit ) und fassen diese als Elemente in auf. Diese Schnitte erfüllen . Diese Elemente definieren Elemente

Da ihre Differenzen von herrühren, sind sie verträglich und definieren ein globales Element

Dies definiert über den verbindenden Homomorphismus die Kohomologieklasse

Wenn der Čech-Kozykel durch andere Elemente repräsentiert werden, so sind die Elemente , , wegen

verträglich und definieren ein globales Element in . Daher geht die Differenz der beiden Repräsentierungen in auf . Insgesamt liegt daher eine wohldefinierte Abbildung

vor. Es sei nun der Čech-Kozykel so, dass er die Nullklasse in der ersten Čech-Kohomologie definiert. Dann gibt es nach Definition Elemente mit

Wir fassen diese Elemente wieder als globale Elemente in auf und die können direkt die Rolle der von oben übernehmen. Dann sind die alle gleich und damit ist das Bild in ebenfalls gleich . Somit hat man eine Abbildung

Diese ist ein Gruppenhomomorphismus und invers zu der zuvor konstruierten Abbildung.