Cech-Kohomologie/Abgeleitete erste Kohomologie/Verfeinerung/Übereinstimmung/Fakt/Beweis

Beweis

Die Injektivität wurde in Fakt gezeigt. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${}c\in H^{1}(X,{\mathcal {F}})$. Es sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}/{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Garbensequenz mit ${}{\mathcal {I}}$

injektiv. Die Kohomologieklasse ${}c$ wird repräsentiert durch einen globalen Schnitt ${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}/{\mathcal {F}}\right)}$. Für diesen gibt es eine offene Überdeckung

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

und Schnitte ${}s_{i}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$ derart, dass ${}s_{i}$ unter der Quotientenabbildung auf ${}s{|}_{U_{i}}$ abbildet. Dann ist die Familie ${}s_{i}-s_{j}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}$, ${}(i,j)$, ein erster Čech-Kozykel von ${}{\mathcal {F}}$. Die zugehörige Čech-Kohomologieklasse bildet auf ${}c$ ab.

Zur bewiesenen Aussage