Garbe/Überdeckung/Cech-Kozykel/Definition

Čech-Kozykel

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${}{\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes ${}X$ und ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Eine ${}k$-te Čech-Kokette ${}(s_{J})\in {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{\left\{J\mid {\#\left(J\right)}=k+1\right\}}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}$ heißt ein ${}k$-ter Čech-Kozykel (zur Überdeckung ${}{\mathcal {U}}$ und zur Garbe ${}{\mathcal {G}}$), wenn sie zum Kern der Čech-Ableitung

$\delta _{k}\colon {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {C}}^{k+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$

gehört. Die Gruppe der ${}k$-ten Čech-Kozykel wird mit ${}{\check {Z}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ bezeichnet.