Chevalley-Shephard-Todd/Polynomring/Spiegelungsgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

mit algebraisch unabhängig, und es sei . Es sei die durch alle Pseudoreflektionen erzeugte Untergruppe. Aufgrund der Hinrichtung des Satzes von Chevalley-Shephard-Todd wissen wir bereits

mit und algebraisch unabhängig. Jedes ist ein Polynom in den . Wir können annehmen, dass beide Polynomfamilien nach aufsteigendem Grad geordnet sind, es ist also und . Dabei muss

für alle gelten, da andernfalls nach Aufgabe

gelten würde, was aber wegen der algebraischen Unabhängigkeit der Familien nicht sein kann. Es sei die Anzahl der Pseudoreflektionen in und in . Nach Fakt ist

Daher muss gelten. Damit ist aber

und damit

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