Chevalley-Warning/Lösungsanzahl/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}q$ die Anzahl der Elemente von ${}K$ und sei

${}V=V(f_{1},\ldots ,f_{m})\,.$

Wir betrachten das Polynom

${}\chi =\prod _{i=1}^{m}(1-f_{i}^{q-1})\,.$

Dieses Polynom hat in einem Punkt ${}P=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\in K^{n}$ den Wert ${}1$, wenn ${}P$ zur gemeinsamen Nullstellenmenge gehört, da ja dann alle Faktoren den Wert ${}1$ haben, und andernfalls den Wert ${}0$, da bei ${}f_{i}(P)\neq 0$ ja ${}f_{i}(P)^{q-1}=1$ folgt und somit der ${}i$-te Faktor von ${}\chi$ zu ${}0$ wird. Daher ist

${}{\#\left(V\right)}=\sum _{P\in K^{n}}\chi (P)\mod p\,.$

Das Polynom ${}\chi$ besitzt einen Grad, der nach Voraussetzung echt kleiner als ${}n(q-1)$ ist. Somit ist es eine Linearkombination von Monomen ${}X_{1}^{d_{1}}\cdots X_{n}^{d_{n}}$ mit

${}\sum _{i=1}^{n}d_{i}<n(q-1)\,,$

was wiederum bedeutet, dass stets mindestens ein Exponent ${}d_{i}<q$ ist. Sei ${}d_{n}<q$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\sum _{P\in K^{n}}(X_{1}^{d_{1}}\cdots X_{n}^{d_{n}})(P)&=\sum _{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K^{n}}x_{1}^{d_{1}}\cdots x_{n}^{d_{n}}\\&=\sum _{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in K^{n-1}}{\left(\sum _{x_{n}\in K}x_{1}^{d_{1}}\cdots x_{n}^{d_{n}}\right)}\\&=\sum _{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in K^{n-1}}{\left(x_{1}^{d_{1}}\cdots x_{n-1}^{d_{n-1}}\sum _{x_{n}\in K}x_{n}^{d_{n}}\right)}\\&=0\end{aligned}}$

in ${}K$ nach Fakt. Da dies für jeden Summanden von ${}\chi$ gilt, ist auch

${}\sum _{P\in K^{n}}\chi (P)=0\,$

in ${}K$.

Zur bewiesenen Aussage