Datensatz/Fehlerquadrate/Lineare Funktion/Fakt

Satz über die kleinsten Fehlerquadrate

Es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ verschiedene reelle Zahlen, ${}n\geq 2$, und ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ reelle Zahlen. Es sei ${}{\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}$ und ${}{\bar {y}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}}{n}}$.

Dann ist die affin-lineare Funktion ${}ax+b$ mit

${}a={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\,$

und

${}b={\bar {y}}-a{\bar {x}}\,$

die optimale lineare Approximation für den Datensatz

${}f(x_{i})=y_{i}\,$

im Sinne der minimalen Fehlerquadrate.

D.h. die Summe der Fehlerquadrate ${}\sum _{i=1}^{n}(ax_{i}+b-y_{i})^{2}$ wird für die angegebenen Koeffizienten ${}a$ und ${}b$ minimal.

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen