Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Verzweigung/Ordnung/Einführung/Textabschnitt
Zu einem injektiven Ringhomomorphismus zwischen diskreten Bewertungsringen nennt man die Ordnung einer Ortsuniformisierenden von in die Verzweigungsindex der Erweiterung.
Statt Verzweigungsordnung sagt man auch Verzweigungsindex. Bei einer Erweiterung von Dedekindbereichen
und Primidealen über nennt man die Verzweigungsordnung von
auch die Verzweigungsordnung von über oder einfach von , da ja durch bestimmt ist. Wenn man von ausgeht, hängt im Allgemeinen die Verzweigungsordnung von den darüber liegenden Primidealen ab.
Ein injektiver Ringhomomorphismus zwischen diskreten Bewertungsringen heißt verzweigt, wenn seine Verzweigungsordnung ist.
Bei einer Erweiterung von Dedekindbereichen sagt man auch, dass ein Primideal aus verzweigt, wenn
mit verzweigt, und man sagt, dass ein Primideal von in verzweigt, wenn es darüber ein Primideal gibt, in dem Verzweigung stattfindet (es darf also auch noch Primideale darüber geben, in denen keine Verzweigung stattfindet).
Es sei eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen und es sei ein Primideal von . Es sei
die Idealzerlegung des Erweiterungsideales im Sinne von Fakt.
Dann ist die Verzweigungsordnung von
Insbesondere findet über genau dann Verzweigung statt, wenn ein ist.
Dies beruht darauf, dass in die Ordnung besitzt, was auf Fakt (1) beruht.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Wir betrachten den Ringhomomorphismus
zu , der der Abbildung
entspricht. Zu einem maximalen Ideal ist
und oberhalb von liegen die maximalen Ideale mit
Dies ist die idealtheoretische Interpretation der -ten Potenzierung. Insbesondere liegen die Ringhomomomorphismen
zwischen diskreten Bewertungsringen vor. Dabei wird die Ortsuniformisierende auf
abgebildet. In dieser Produktdarstellung ist der linke Faktor die Ortsuniformisierende des zweiten Bewertungsringes. Der zweite Faktor wird, wenn man für die Zahl einsetzt, zu . Wenn und beide Einheiten in sind, so ist dieser Faktor eine Einheit in und daher ist die Verzweigungsordnung gleich , es liegt also keine Verzweigung vor. Wenn hingegen keine Einheit ist, wenn also die Charakteristik von ein Teiler von ist, so liegt Verzweigung vor. Wenn die positive Charakteristik ist, so ist und die Verzweigungsordnung ist in jedem Punkt gleich . Wenn ist, so ist die Verzweigungsordnung direkt gleich im Nullpunkt.