Determinante/Körper/Rekursiv/Multiplikationssatz/Ohne Beweis/Textabschnitt

Wir besprechen weitere wichtige Sätze über Determinanten, die wir aber nicht beweisen werden. Die Beweise beruhen auf einer systematischeren Untersuchung der für die Determinante charakteristischen Eigenschaften, multilinear und alternierend zu sein. Durch diese beiden Eigenschaften zusammen mit der Bedingung, dass die Determinante der Einheitsmatrix gleich ${}1$ ist, ist die Determinante nämlich schon eindeutig festgelegt.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann gilt für Matrizen ${}A,B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ die Beziehung

${}\det \left(A\circ B\right)=\det A\cdot \det B\,.$

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine ${}m\times n$-Matrix über ${}K$. Dann nennt man die ${}n\times m$-Matrix

${M^{\text{tr}}}=(b_{ij})_{ij}{\text{ mit }}b_{ij}:=a_{ji}$

die transponierte Matrix zu ${}M$.

Die transponierte Matrix entsteht also, indem man die Rollen von Zeilen und Spalten vertauscht. Beispielsweise ist

${}{{\begin{pmatrix}t&n&o&e\\r&s&n&r\\a&p&i&t\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}={\begin{pmatrix}t&r&a\\n&s&p\\o&n&i\\e&r&t\end{pmatrix}}\,.$

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$-Matrix über ${}K$.

Dann ist

${}\det M=\det {M^{\text{tr}}}\,.$

Daraus folgt, dass man die Determinante auch berechnen kann, indem man „nach einer Zeile entwickelt“, wie die folgende Aussage zeigt.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine ${}n\times n$-Matrix über ${}K$. Zu ${}i,j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}M_{ij}$ diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die ${}i$-te Zeile und die ${}j$-te Spalte weglässt.

Dann ist (bei ${}n\geq 2$ für jedes feste ${}i$ bzw. ${}j$)

${}\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}\,.$

Beweis

Für ${}j=1$ ist die erste Gleichung die rekursive Definition der Determinante. Daraus folgt die Aussage für ${}i=1$ aufgrund von Fakt. Durch Spalten- und Zeilenvertauschung folgt die Aussage daraus allgemein, siehe Aufgabe.

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