Determinante/Multiplikationssatz/Mit Spalten/Fakt/Beweis

Beweis

Wir fixieren die Matrix ${}A$. Es sei zunächst ${}\det A=0$. Dann sind die Zeilen von ${}A$ linear abhängig und damit sind auch die Zeilen von ${}AB$ linear abhängig, woraus ${}\det AB=0$ folgt. Sei nun ${}A$ invertierbar. In diesem Fall betrachten wir die wohldefinierte Abbildung

$\delta \colon \operatorname {Mat} _{n}(K)\longrightarrow K,\,B\longmapsto (\det AB)(\det A)^{-1}.$

Wir wollen zeigen, dass dies ${}\det B$ ist, indem wir die die Determinante charakterisierenden Eigenschaften nachweisen und Fakt anwenden. Wenn ${}s_{1},\ldots ,s_{n}$ die Spalten von ${}B$ sind, so ergibt sich ${}\delta (B)$, indem man auf die Spalten ${}As_{1},\ldots ,As_{n}$ die Determinante anwendet und mit ${}(\det A)^{-1}$ multipliziert. Daher folgt die Multilinearität und die alternierende Eigenschaft aus Aufgabe. Wenn man mit ${}B=E_{n}$ startet, so ist ${}AB=A$ und daher ist

${}\delta (E_{n})=(\det A)\cdot (\det A)^{-1}=1\,.$

Zur bewiesenen Aussage

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