Determinantenmultiplikationssatz/Elementarmatrizen/Aufgabe/Lösung

1. Wir gehen die verschiedenen Elementarmatrizen durch. Wenn ${}E$ eine Vertauschungsmatrix ist, so ist ihre Determinante gleich ${}-1$ und ${}E\circ M$ entsteht aus ${}M$, indem die ${}i$-te und die ${}j$-te Zeile vertauscht werden. Das ändert die Determinante um das Vorzeichen. Wenn ${}E$ eine Skalierungsmatrix zum Faktor ${}s$ ist, so ist ihre Determinante gleich ${}s$ und ${}E\circ M$ entsteht aus ${}M$, indem die ${}i$-te mit ${}s$ multipliziert. Das ändert die Determinante um den Faktor ${}s$. Wenn ${}E$ eine Additionsmatrix ist, so ist ihre Determinante gleich ${}1$ und ${}E\circ M$ entsteht aus ${}M$, indem das ${}a$-fache der ${}j$-ten Zeile zur ${}i$-ten Zeile hinzuaddiert wird. Das ändert die Determinante nicht.
2. Sei

   ${}A=E_{1}\circ \cdots \circ E_{s}\,$

   ein Produkt von Elementarmatrizen. Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach ${}s$, wobei sich der Induktionsanfang zu ${}s=1$ aus Teil (1) ergibt. Es sei die Aussage für ein Produkt aus ${}s-1$ Elementarmatrizen schon bewiesen. Dann ist nach Teil (1) und der Induktionsvoraussetzung

   ${}{\begin{aligned}\det \left(AB\right)&=\det \left(E_{1}\circ \cdots \circ E_{s}\circ B\right)\\&=\det E_{1}\circ {\left(E_{2}\circ \cdots \circ E_{s}\circ B\right)}\\&=\det E_{1}\cdot \det \left(E_{2}\circ \cdots \circ E_{s}\circ B\right)\\&=\det E_{1}\cdot \det E_{2}\cdots \det E_{s}\cdot \det B\\&=\det A\cdot \det B.\end{aligned}}$

   wobei sich die letzte Gleichung aus dem Spezialfall zu ${}B=E_{n}$ ergibt.

3. Es sei zunächst ${}\det A=0$. Dann ist nach Fakt die Matrix ${}A$ nicht invertierbar und damit ist auch ${}A\circ B$ nicht invertierbar und somit wiederum ${}\det A\circ B=0$. Es sei nun ${}A$ invertierbar. Dann gibt es eine Zerlegung

   ${}A=E_{1}\circ \cdots \circ E_{s}\,$

   in Elementarmatrizen, und die Aussage folgt aus Teil (2).

Zur gelösten Aufgabe