Dezimalzahlen/Nicht periodisch/Bedeutung/Motivation für reelle Zahlen/Bemerkung

Nach Fakt führt jedes Element ${}x\in K$ in einem archimedisch angeordneten Körper zu einer Dezimalbruchfolge, für die die Abschätzung

${}x_{n}\leq x<x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\,$

gilt und die nach Fakt gegen ${}x$ konvergiert. Grundsätzlich kann man sich zu einer jeden Dezimalbruchfolge, also einer Folge aus Dezimalbrüchen

${}x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$

mit ${}a_{n}\in \mathbb {Z}$ und mit der Eigenschaft

${}{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,$

fragen, ob es dazu einen Punkt in dem Körper gibt, gegen den die Folge konvergiert. Dies ist keineswegs immer der Fall, für die rationalen Zahlen gilt es nicht, und zwar werden wir später in Fakt sehen, dass genau die periodischen Dezimalbruchfolgen gegen eine rationale Zahl konvergieren. Gibt es für die nichtperiodischen Dezimalbruchfolgen eine sinnvolle Interpretation als eine Zahl? Nichtperiodische Dezimalbruchfolgen können durchaus systematisch sein, wie die (in Kommazahlschreibweise gegebenen) Dezimalbruchfolgen

$0,101001000100001000001\ldots$

oder

$0,123456789101112131415\ldots$

verdeutlichen.