Zur endlich erzeugten abelschen Gruppe gibt es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
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Dies führt zu einer abgeschlossenen Einbettung der zugehörigen Gruppenschemata
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die zugleich ein Homomorphismus von affinen Gruppenschemata ist.
Umgekehrt sei eine abgeschlossene Untergruppe gegeben. Die Monome , sind Charaktere auf dem Torus und damit auch auf . Es sei ein Polynom, das auf verschwindet. Wir sortieren nach den verschiedenen Charakteren, die sich auf ergeben, und verwenden die Menge
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die eine Untergruppe von ist. Die Menge der Charaktere , die auf übereinstimmen, kann man als
( sei ein Repräsentant für )
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schreiben, und man erhält
Hier wird also summiert über (in ) verschiedene Charaktere. Nach dem
Lemma von Dedekind
sind Charaktere linear unabhängig, d.h. es folgt
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auf für jedes . Wegen ist und daher folgt aus
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dass in dem von
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erzeugten Ideal in liegt. Damit wird das Ideal, das beschreibt, von solchen einfachen Gleichungen erzeugt, und man hat
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Die Untergruppe definiert die kurze exakte Sequenz
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und beschreibt das Gruppenschema , d.h. . Es ist ja
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