Diagonalisierbare Gruppe/Charakterisierung mit Gruppenring/Fakt/Beweis

Beweis

Zur endlich erzeugten abelschen Gruppe gibt es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

Dies führt zu einer abgeschlossenen Einbettung der zugehörigen Gruppenschemata

die zugleich ein Homomorphismus von affinen Gruppenschemata ist.
Umgekehrt sei eine abgeschlossene Untergruppe gegeben. Die Monome , sind Charaktere auf dem Torus und damit auch auf . Es sei ein Polynom, das auf verschwindet. Wir sortieren nach den verschiedenen Charakteren, die sich auf ergeben, und verwenden die Menge

die eine Untergruppe von ist. Die Menge der Charaktere , die auf übereinstimmen, kann man als ( sei ein Repräsentant für )

schreiben, und man erhält

Hier wird also summiert über (in ) verschiedene Charaktere. Nach dem Lemma von Dedekind sind Charaktere linear unabhängig, d.h. es folgt

auf für jedes . Wegen ist und daher folgt aus

dass in dem von

erzeugten Ideal in liegt. Damit wird das Ideal, das beschreibt, von solchen einfachen Gleichungen erzeugt, und man hat

Die Untergruppe definiert die kurze exakte Sequenz

und beschreibt das Gruppenschema , d.h. . Es ist ja