Diagonalmatrix/Orthogonalbasis/Normal/Beispiel

Die lineare Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n}$

besitze eine Orthonormalbasis (bezüglich des Standardskalarproduktes) ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ aus Eigenvektoren, d.h. die beschreibende Matrix besitzt die Diagonalgestalt

${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\lambda _{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda _{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}.$

Dann wird der adjungierte Endomorphismus nach Beispiel durch die komplex-konjugierte Matrix

${\begin{pmatrix}{\overline {\lambda }}_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&{\overline {\lambda }}_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&{\overline {\lambda }}_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&{\overline {\lambda }}_{n}\end{pmatrix}}$

beschrieben. Diese beiden Matrizen sind offenbar vertauschbar, d.h. es liegt ein normaler Endomorphismus vor.