Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

1. Man nennt jeden Eigenwert der Weingartenabbildung

   $L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto -{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)},$

   eine Hauptkrümmung von ${}Y$ in ${}P$.

2. Ein Homöomorphismus

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   heißt ein Diffeomorphismus, wenn sowohl ${}\varphi$ als auch ${}\varphi ^{-1}$ ${}C^{1}$-Abbildungen sind.

3. Unter einem Tangentialvektor an ${}P$ versteht man eine Äquivalenzklasse von tangential äquivalenten differenzierbaren Kurven durch ${}P$.
4. Eine Abbildung

   $D\colon C^{1}(M,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(M,\mathbb {R} )$

   heißt Differentialoperator erster Ordnung, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt.

   1. ${}D$ ist ${}\mathbb {R}$-linear.
   2. Es ist ${}D(fg)=fD(g)+gD(f)$.
5. Unter dem euklidischen Halbraum der Dimension ${}n$ versteht man die Menge

   ${}H={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}\geq 0\right\}}\,$

   mit der induzierten Topologie.

6. Eine kompakte Ausschöpfung ${}A_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, von ${}X$ ist eine Folge von kompakten Teilmengen ${}A_{n}\subseteq X$ mit

   $A_{n}\subseteq A_{n+1}^{o}{\text{ und }}\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}=X.$

Zur gelösten Aufgabe