Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Eine (als Abbildung nach ${}\mathbb {R} ^{n}$) zweimal stetig differenzierbare Kurve

   $\gamma \colon I\longrightarrow Y$

   heißt geodätische Kurve auf ${}Y$, wenn ihre tangentiale Beschleunigung überall gleich ${}0$ ist.

2. Die Rotationsmenge zu ${}T$ ist

   ${\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}.$

3. Unter der Tangentialabbildung

   $T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$

   versteht man die disjunkte Vereinigung der Tangentialabbildungen in den einzelnen Punkten, also

   ${}T(\varphi )=\biguplus _{P\in M}T_{P}(\varphi )\,.$

4. Es seien

   $\alpha _{1}\colon U_{1}\longrightarrow V_{1}$

   und

   $\alpha _{2}\colon U_{2}\longrightarrow V_{2}$

   orientierte Karten von ${}M$. Der zugehörige Kartenwechsel

   $\psi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow V_{2}\cap \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$

   heißt orientierungstreu, wenn für jeden Punkt ${}Q\in V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})$ das totale Differential

   $\left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   orientierungstreu ist.

5. Die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ ist für ${}P\in L$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{k}\in T_{P}L$ durch

   ${}(\varphi ^{*}\omega )(P,v_{1},\ldots ,v_{k}):=\omega (\varphi (P),T_{P}\varphi (v_{1}),\ldots ,T_{P}\varphi (v_{k}))\,$

   definiert.

6. Der Zusammenhang heißt metrisch, wenn

   ${}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,.$

   für beliebige Vektorfelder ${}V,W,Z$ gilt.

Zur gelösten Aufgabe