Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe/Lösung

1. Man nennt das Produkt ${}\kappa _{1}\cdot \kappa _{2}$ der beiden Hauptkrümmungen in ${}P$ die Gaußkrümmung der Fläche ${}Y$ in ${}P$.
2. Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ heißt eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$, wenn es eine offene Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass jedes ${}U_{i}$ homöomorph zu einer offenen Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist.
3. Eine Abbildung

   $F\colon M\longrightarrow TM$

   mit der Eigenschaft, dass ${}F(P)\in T_{P}M$ für jeden Punkt ${}P\in M$ ist, heißt (zeitunabhängiges) Vektorfeld.

4. Eine ${}k$-Differentialform ist ein Schnitt im ${}k$-fachen Dachprodukt des Kotangentialbündels.
5. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem Tangentialraum ${}T_{P}M$, ${}P\in M$, ein Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ erklärt ist derart, dass für jede Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Funktionen (für $1\leq i,j\leq n$)

   $g_{ij}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,Q\longmapsto g_{ij}(Q)=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)},$

   ${}C^{1}$-differenzierbar sind.

6. Der Zusammenhang heißt torsionsfrei, wenn

   ${}\nabla _{V}W-\nabla _{W}V=[V,W]\,$

   für beliebige Vektorfelder ${}V,W$ gilt.

Zur gelösten Aufgabe