Differentialoperator/Algebraisch/Verknüpfung/Ring/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra und es sei ${}D$ ein Differentialoperator der Ordnung ${}\leq m$ und ${}E$ ein Differentialoperator der Ordnung ${}\leq n$.

Dann ist die Hintereinanderschaltung ${}E\circ D$ ein Differentialoperator der Ordnung ${}\leq m+n$.

Beweis

Wir führen Induktion über ${}m+n$. Bei ${}m=n=0$ ist die Verknüpfung einfach ${}\mu _{g}\circ \mu _{h}=\mu _{gh}$. Im Allgemeinen schreiben wir

${}{\begin{aligned}\mu _{f}\circ E\circ D-E\circ D\circ \mu _{f}&=\mu _{f}\circ E\circ D-E\circ \mu _{f}\circ D+E\circ \mu _{f}\circ D-E\circ D\circ \mu _{f}\\&={\left(\mu _{f}\circ E-E\circ \mu _{f}\right)}\circ D+E\circ {\left(\mu _{f}\circ D-D\circ \mu _{f}\right)}\end{aligned}}$

und die Aussage folgt aus der Induktionsvoraussetzung und der induktiven Definition.

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Insbesondere ist die Verknüpfung von ${}n$ Derivationen ein Differentialoperator der Ordnung ${}n$.

Definition

Zu einer kommutativen ${}K$-Algebra ${}R$ bezeichnet man die Menge aller ${}K$-Differentialoperatoren auf ${}R$ mit der Verknüpfung als Multiplikation als Ring der Differentialoperatoren. Er wird mit ${}D_{K}(R,R)$ bezeichnet.

Nach Fakt ist ${}D(R,R)$ ein Unterring des Endomorphismenringes ${}\operatorname {End} _{}{\left(R\right)}$.

Die Identität, also die Multiplikation mit ${}1$, ist das neutrale Element dieses Ringes. Einfache Beispiele zeigen, dass dieser Ring nicht kommutativ ist.

Beispiel

Sei ${}R=K[X]$, ${}D=\partial _{X}$ und ${}E=\mu _{X}$. Dann ist

${}(D\circ E)(X)=\partial _{X}(X^{2})=2X\,$

und

${}(E\circ D)(X)=X\cdot \partial _{X}(X)=X\,,$

die Verknüpfung von Differentialoperatoren ist also nicht kommutativ.

Lemma

Differentialoperator/Algebraisch/Modulstruktur/Fakt

Beweis

Differentialoperator/Algebraisch/Modulstruktur/Fakt/Beweis

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