Differenzierbare Funktion/Quetschkriterium/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist ${}f(a)=g(a)=h(a)=:b$. Für die Differenzenquotienten zu einem Punkt ${}x\neq a$ gilt

${}{\frac {g(x)-b}{x-a}}\leq {\frac {f(x)-b}{x-a}}\leq {\frac {h(x)-b}{x-a}}\,$

für ${}x>a$ und

${}{\frac {g(x)-b}{x-a}}\geq {\frac {f(x)-b}{x-a}}\geq {\frac {h(x)-b}{x-a}}\,$

für ${}x<a$. Für eine Folge ${}x_{n}$, die gegen ${}a$ konvergiert, konvergieren wegen der Differenzierbarkeit von ${}g$ bzw. ${}h$ die äußeren Differentialquotienten ${}{\frac {g(x_{n})-b}{x_{n}-a}}$ bzw. ${}{\frac {h(x_{n})-b}{x_{n}-a}}$ gegen ${}g'(a)=h'(a)$. Aufgrund de Quetschkriteriums, angewendet auf die Teilfolge mit ${}x_{n}>a$ bzw. die Teilfolge mit ${}x_{n}<a$ zeigt, dass auch die Folge der mittleren Differenzenquotienten ${}{\frac {f(x_{n})-b}{x_{n}-a}}$ gegen ${}g'(x)=h'(x)$

konvergiert.

Zur gelösten Aufgabe