Differenzierbare Hyperfläche/Zweites Tangentialbündel/Induzierte Bündelhomomorphismen/Bemerkung

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=f^{-1}(0)$ die zugehörige differenzierbare Hyperfläche, die in jedem Punkt regulär sei. Wir knüpfen an die Beschreibung des zweiten Tangentialbündels ${}TTY$ aus Bemerkung mit den dortigen Bezeichnungen an. Das zurückgezogene Tangentialbündel ${}\pi ^{*}TY$ zu

$\pi \colon TY\longrightarrow Y,$

das zugleich das Vertikalbündel ist, ist

${}{\begin{aligned}V&\cong \pi ^{*}TY\\&=TY\times _{Y}TY\\&={\left\{(P,u,z)\mid f(P)=0,\,\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P)=0,\,\sum _{k=1}^{n}z_{k}{\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}(P)=0\right\}}.\end{aligned}}$

Wir müssen bestimmen, wie die tangentiale Abbildung ${}T(\pi )\colon TTY\rightarrow \pi ^{*}TY$ und wie die Einbettung des Vertikalbündels in ${}TTY$ aussieht. Nach Aufgabe ist

$T(\pi )\colon TTY\longrightarrow \pi ^{*}TY,\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,v).$

Der Kern davon ist

${}V={\left\{(P,u,0,w)\mid (P,u,0,w)\in TTY\right\}}\subset TTY\,,$

wobei man direkt sieht, dass dann ${}(P,u,w)$ die Bedingung für ${}\pi ^{*}TY$ erfüllt. Die Bündelhomomorphismen in der kurzen exakten Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\pi ^{*}TY\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,TTY\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\pi ^{*}TY\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

kann man also in Koordinaten als ${}(P,u,w)\mapsto (P,u,0,w)$ und ${}(P,u,v,w)\mapsto (P,u,v)$ schreiben.