Differenzierbare Hyperfläche/Zweites Tangentialbündel/Induzierter Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Fakt/Beweis

Beweis

Die vertikale Ableitung längs ${}F$ des Zusammenhangs eines differenzierbaren Schnittes ${}s\colon Y\rightarrow TY$ ist

$Y{\stackrel {F}{\longrightarrow }}TY{\stackrel {T(s)}{\longrightarrow }}TTY{\stackrel {\pi _{\text{vert}}}{\longrightarrow }}TY.$

Dabei bildet ${}T(s)$ einen Punkt ${}(P,u)$ auf ${}(P,u,s(P),{\left(Ds\right)}_{P}{\left(u\right)})$ in der Notation von Bemerkung ab und dieses wird auf ${}(P,\pi _{P}{\left({\left(Ds\right)}_{P}{\left(u\right)}\right)})$ abgebildet. Dies stimmt mit der Definition der kovarianten Ableitung überein.

Zur bewiesenen Aussage