Differenzierbare Hyperfläche/Zweites Tangentialbündel/Induzierter Zusammenhang/Bemerkung

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=f^{-1}(0)$ die zugehörige differenzierbare Hyperfläche, die in jedem Punkt regulär sei. Wir knüpfen an die Beschreibung des zweiten Tangentialbündels ${}TTY$ aus Bemerkung und an die Bündelhomomorphismen aus Bemerkung an. Durch die orthogonale Projektion ${}\mathbb {R} ^{n}\rightarrow T_{P}Y$ erhält man die vertikale Projektion

$TTY\longrightarrow V=p^{*}TY,\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,\pi _{P}(w)),$

auf das Vertikalbündel. Durch die orthogonale Projektion gehört ${}\pi _{P}(w)$ zum Tangentialraum an ${}Y$, wenn man mit einem Vektor ${}(P,u,w)\in V$ startet, so ist in ${}(P,u,0,w)$ das hintere ${}w$ automatisch im Tangentialraum, die orthogonale Projektion bildet solche Elemente also auf ${}(P,u,w)$ zurück ab. Es ergibt sich also ein Zusammenhang auf ${}TY$.