Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abbildung/Tangentialabbildung/Eigenschaften/Fakt/Beweis2

Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition der Tangentialabbildung.
(2) folgt aus (1) unter Verwendung der natürlichen Identifizierung für eine offene Menge im .
(3) folgt aus Fakt  (1).
(4) folgt aus Fakt  (4).
(5). Sei

mit und offen eine Karte für und ebenfalls offen. Dann ist eine offene Menge in , und solche Mengen bilden nach Aufgabe eine Basis der Topologie von . Die Stetigkeit muss also nur für solche Mengen gezeigt zu werden. Dies bedeutet, dass wir durch ersetzen können, also annehmen können, dass eine differenzierbare Abbildung

in eine offene Menge vorliegt. Wir müssen zeigen, dass das Urbild von offen in ist. Dazu sei

eine beliebige Karte für , und wir müssen die Offenheit von zeigen. Damit sind wir in der unter (3) beschriebenen Situation. Wir müssen also die Stetigkeit der Abbildung

beweisen, wobei wir nur die hintere Komponente, also , betrachten müssen. Die -te Komponente davon ist

und dies sind nach der -Differenzierbarkeits-Voraussetzung stetige Abbildungen.
(6) folgt aus (5).