Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abbildung/Tangentialabbildung/Eigenschaften/Fakt/Beweis2

Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition der Tangentialabbildung.
(2) folgt aus (1) unter Verwendung der natürlichen Identifizierung ${}TV\cong V\times \mathbb {R} ^{n}$ für eine offene Menge im ${}\mathbb {R} ^{n}$.
(3) folgt aus Fakt  (1).
(4) folgt aus Fakt  (4).
(5). Sei

$\beta \colon V\longrightarrow V'$

mit ${}V\subseteq N$ und ${}V'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen eine Karte für ${}N$ und ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ebenfalls offen. Dann ist ${}(T(\beta ))^{-1}(V'\times Y)$ eine offene Menge in ${}TN$, und solche Mengen bilden nach Aufgabe eine Basis der Topologie von ${}TN$. Die Stetigkeit muss also nur für solche Mengen gezeigt zu werden. Dies bedeutet, dass wir ${}N$ durch ${}V$ ersetzen können, also annehmen können, dass eine differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow V$

in eine offene Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ vorliegt. Wir müssen zeigen, dass das Urbild von ${}V\times Y$ offen in ${}TM$ ist. Dazu sei

$\alpha \colon U\longrightarrow U'$

eine beliebige Karte für ${}M$, und wir müssen die Offenheit von ${}(T(\varphi ))^{-1}(V\times Y)\cap TU$ zeigen. Damit sind wir in der unter (3) beschriebenen Situation. Wir müssen also die Stetigkeit der Abbildung

$U\times \mathbb {R} ^{m}\longrightarrow V\times \mathbb {R} ^{n},\,(P,v)\longmapsto (\varphi (P),{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}),$

beweisen, wobei wir nur die hintere Komponente, also ${}{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}$, betrachten müssen. Die ${}j$-te Komponente davon ist

$\sum _{i=1}^{m}v_{i}{\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial x_{i}}}(P),$

und dies sind nach der ${}C^{1}$-Differenzierbarkeits-Voraussetzung stetige Abbildungen.
(6) folgt aus (5).

Zur bewiesenen Aussage