Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Diffeomorphismen/Lokal einparametrige Gruppe/Definition

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}U\subseteq M$ eine offene Teilmenge und ${}0\in I=\mathbb {R}$ ein offenes Intervall. Eine differenzierbare Abbildung

$\Psi \colon I\times U\longrightarrow M$

heißt lokal einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Für jedes ${}t\in I$ ist ${}\Psi _{t}\colon U\rightarrow M$ ein Diffeomorphismus auf die offene Menge ${}\Psi _{t}(U)$.
2. Es ist ${}\Psi _{0}=\operatorname {Id} _{U}$.
3. Für ${}s,t\in I$ mit ${}s+t\in I$ und ${}P\in U$ mit ${}\Psi _{t}(P)\in U$ gilt

   ${}\Psi _{s+t}(P)=\Psi _{s}(\Psi _{t}(P))\,.$