Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildungen/Elementare funktorielle Eigenschaften/Fakt

Es seien ${}L,M$ und ${}N$ ${}C^{k}$-Mannigfaltigkeiten. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Identität

   $\operatorname {Id} \,\colon L\longrightarrow L$

   ist eine ${}C^{k}$-Abbildung.

2. Jede konstante Abbildung

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   ist eine ${}C^{k}$-Abbildung.

3. Für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq L$ ist die offene Einbettung ${}U\rightarrow L$ eine ${}C^{k}$-Abbildung.
4. Es seien

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   und

   $\psi \colon M\longrightarrow N$

   ${}C^{k}$-Abbildungen. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

   $\psi \circ \varphi \colon L\longrightarrow N$

   eine ${}C^{k}$-Abbildung.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen