Diffusion/Tabellenkalkulation

In dieser Lerneinheit werden die Möglichkeiten analysiert, Diffusionsprozesse in einer Tabellenkalkulation darszustellen.

Animation zeigt einen Diffusionprozess. Diffusion gleicht die anfänglich starken Konzentrationsunterschiede im zeitlichen Verlauf aus - weitere Animationen.

Bedingte Formatierung in LibreOffice für die Schadstoffkonzentration

Aufgaben für Lernende

• (Koordinatensystem) Machen Sie sich zunächst mit dem Ebenen-Zeit-Koordinaten vertraut, wie in diesem Beispiel $(x,y,t)$ als dreidimensionale Koordinaten in eine per Vorgabe zunächst nur zweidimensionale Datenstruktur einer Tabelle implementiert werden kann (siehe LibreOffice-Dateien auf GitHub.
• (Ausbreitung Visualisierung) Betrachten Sie zunächst die Animation auf der rechten Seite und erläutern Sie die beobachtbaren Prozesse!
• (Mit Startkonzentrationen experimentieren) Öffnen Sie die Tabelle 3 Diffusion in der Tabellenkalkulation in LibreOffice.

Download von vorbereiteten Tabellenkalkulationsdateien

Die Dateien werden als LibreOffice-Datei nach dem Open Community Approach für Open Educational Resources zur Verfügung gestellt. Diese können in LibreOffice-Datei auch in kommerzielle Formate exportiert werden. Für die Darstellung einer Diffusion in der Tabellenkalkulation werden mit den folgenden Versionen veranschaulicht:

• (Version 0) Bedingte Formatierung wird in einem rechteckigen Bereich einer Tabelle mit einer bedingten Formatierung versehen, um damit die Konzentration farblich zu markieren. Die Verteilung der Schadstoffe wird in einem rechteckigen Gitter dargestellt (z.B. 5 Zeilen und 6 Spalten). Diese Tabellenkalkulationsdatei wird nun schrittweise erweitern und in jeweils in den erweiterten Versionen ebenfalls zu Verfügung gestellt. Die Lernenden können damit mit Dateien unterschiedlich starker Vorstrukturierung starten.
• (Version 1) Jeder Zeitschritt wird in einer eigene Tabelle dargestellt, die wie folgt genannt werden.
  • Zeit0 Startverteilung der Schadstoffe in der Ebene
  • Zeit1 Verteilt die Schadstoffe aus dem Zeitschritt 0 und stellt die neue Verteilung zum Zeitschritt 1 dar.
  • Zeit2 Verteilt die Schadstoffe aus dem Zeitschritt 1 und stellt die neue Verteilung zum Zeitschritt 2 dar.
  • Zeit3 Verteilt die Schadstoffe aus dem Zeitschritt 2 und stellt die neue Verteilung zum Zeitschritt 3 dar.
• Bedingte Formatierung in LibreOffice wird verwendet, um Schadstoffwerte in der Zelle als
  • unbedenklich (grün),
  • Grenzwertnah (gelb) oder
  • kritisch hoch (rot)

zu markieren.

• (Version 2) Es wurden bisher die Gitterelementen von der verteilenden Gitterzelle betrachte. Nun werden die Verteilungsmatrizen von der empfangenden Gitterzelle betrachten, in die die Nachbarzellen hineinschreiben.
• (Version 3) In dieser Version werden die Gitterzellen mit statischen Objekten berücksichtigen.
• (Version 4) Diese Version setzt die Diffusion auf den Gitterzellen unter Berücksichtung der statischen Objekten um.
• (Version 5) (Sebastian Staib - 2019/06/27) Diese Version setzt die Diffusion mit bewegten Objekten auf den Gitterzellen um. Ein bewegtes Auto wird dabei als Objekt aus zwei Pixeln dargestellt, das sich in den Gitterzellen bewegt.

Tabellenkalkulation

Testdateien und Demodateien in LibreOffice Calc zu dieser Lerneinheit finden sich unter GitHub-Repository

• (Versionierung der TK-Datei]) Demodatei werden schrittweise erweitert. Die Erweiterung werden als separate Version auf GitHub angeboten.
• (Vorerfahrungen) Je nach Vorerfahrungen der Lernenden können weniger vorstrukturierte Tabellen verwendet werden.
• (Erweiterungsschritte) die Rohversion enthält nur 3 Tabellen für Zeitschritte in der Verteilung zusammen mit der bedingten Formatierung. Im nächsten Schritt wurde die Verteilungstabelle erweitert, um Eckpunkte, Kanten und innere Punkte in einem geschlossen System unterschiedlich behandelt zu können.

Unterkapitel

• Mathematische Grundlagen
• Aufgabenstellung Schüler
• Aufbau der Tabellenkalkulation

3D-Matrix

Für die Speicherung der Verteilung der Schadstoffe in $t_{max}\in \mathbb {N}$ Zeitschritten werden $t_{max}$ verschiedene zweidimensionale Schadstoffmatrix $S_{1},...,S_{t_{max}}$ benötigt. Die einzelnen Matrizen $S_{t}\in Mat(n_{x}\times n_{y},\mathbb {R} _{0}^{+})$ zum Zeitpunkt $t\in \{1,...,t_{max}\}$ haben nicht-negative Einträge in den Komponenten $S_{x,y,t}\in \mathbb {R} _{0}^{+}$ mit $x\in \{1,...,n_{x}\}$ und $y\in \{1,...,n_{y}\}$. So entsteht ein Rechteck, der in Länge, Breite in den jeweiligen in Teilrechtecken jeweils die zweidimensionale Verteilung der Schadstoffe auf die einzelnen Zellen angibt. Die einzelnen Matrizen zu einem Zeitpunkt $t\in \{1,...,t_{max}\}$ besteht insgesamt aus $n_{x}\cdot n_{y}$ Teilrechtecken. Insgesamt erhält man mit der Zeit mathematisch eine dreidimensionale Datenstruktur, die 2 Koordinaten in der Ebene und eine Zeitkoordinate mit $(x,y,t)$ enthält.

Eingabe einer 3D-Matrix in Tabellenkalkulation

Da jedes Tabellenblatt eine Tabellenkalkulationsdatei für sich schon ein zweidimensionale Datenstruktur als Matrix darstellt, wird für jeden Zeitschritt ein Ausschnitt aus dieser Tabellenstruktur für die Verteilung zu einem Zeitpunkt $t\in \{1,...,t_{max}\}$ verwendet. In Anlehnung an die Zeilen- und Spaltennotation in der Tabellenkalkulation werden der Zeilenindex mit Zahlen und Spaltenindex mit Buchstaben angegeben. Da man ggf. in Abhängigkeit von den Ausgangsdimensionen in $x-,\ y-$Richtung mehrere Matrizen mit der gleichen Dimension erzeugen muss, sollte man die Position der Teilmatrix in jeder Tabelle an dem gleichen Teilbereich jeder Tabelle für die Zeitschritte lokalisiert sein, das erleichtert die mehrfache Verwendung von entwickelten Formeln für mehrere Zeitschritte. In $x-,\ y-$Richtung zusammen mit dem Zeitindex $t$ werden die Zeilbezüge in der Form Zeit3.B4 angegeben, die in diesem Fall die 4. Zeile ($x=4$), 2. Spalte ($B{\widehat {=}}2$) und den 3. Zeitschritt ($t=3$) als Variable für die Zelle Zeit3.B4 referenziert. In einer Ebenen-Zeit-Koordinate würde das dem $(x,y,t)=(4,2,3)$ entsprechen. In der Notation der Tabellenkalkulation werden die Komponenten eines Index also in umgekehrter Reihenfolge notiert. Die Indizierung der Zeilen als Matrixkomponenten beginnt in der Tabellenkalkulation mit 1. Die Indizierung der Spalten in einer Tabellenkalkulation beginnt mit A. Nach dem Spaltenindex Z werden Spalten mit AA, AB, AC, ... bezeichnet. Diese Spaltenbezeichnung Doppelbuchstaben erfolgt fast analog zu dem Aufbau des Stellenwertsystem verwendet.

Setzen einzelner Komponenten in Abhängigkeit von einem vorherigen Zeitschritt

Einzelne Komponenten können in der Tabellenkalkulation mit dem entsprechenden Komponentenindex wie folgt angesprochen und gesetzt werden. Zum Zeitindex $t=4$ und dem Raumindex $(x0,y0,t0)=(4,1,3)$ kann man die Matrixkomponente Zeit3.A4 der 3D-Schadstoffmatrix $S_{x_{o},y_{o},t_{o}}=S_{4,1,3}\in \mathbb {R} _{0}^{+}$ in der Tabellenkalkulation in Abhängigkeit von der zeitlichen Vorgängerzelle wie folgt gesetzt werden. In eckigen Klammer ist der Zellenindex angegeben, in dem die dahinter stehende Formel beginnend mit dem Gleichheitszeichen eingeben wird.

  [Zeit2.A4] 12
  [Zeit3.A4] = 0,5 * Zeit2.A4

Mit dem obigen Befehl hat nun die Schadstoffmatrix $S_{x_{o},y_{o},t_{o}}\in \mathbb {R} _{0}^{+}$ nun den Wert $6$, wenn der Zellinhalt der Zelle aus dem vorherigen Zeitschritt den Wert 12 enthält. Bitte beachten Sie, dass Nachkommastellen in im Vergelich zu Octave, [Maxima_(Computeralgebrasystem)|Maxima]] in der deutschen Notation wie gewohnt mit Komma angegeben wird.

Siehe auch

• Skalarprodukt
• 3D-Diffusion in Octave
• Octave-Tutorial/Laden und Speichern