Diffusion/Tabellenkalkulation/Aufbau

Die folgende Lerneinheit befasst sich mit der Erstellung einer Datei in LibreOffice Calc (Tabellenkalkulation), die eine Animation auf der rechten Seite durch die Visualisierung der Konzentration in unterschiedlichen Zeitschritten durch einzelne Tabelle realisiert. Dadurch können die einzelne mathematischen Berechnungen von einem Zeitschritt $t$ nach $t+1$ mathematisch modelliert werden.

Farbunterschiede kodieren Konzentrationsunterschiede. Diffusion gleicht die Konzentrationsunterschiede aus

Diffusion: Startkonfiguration der Verteilung

Diffusion: Verteilungsmatrix für die 3x3-Umgebung

Die Moore-Nachbarschaft besteht aus 8 Zellen, welche die mittlere Zelle C umschließen.

Diffusion unter Berücksichtigung von Objekten im Raum - [Screenshot aus LibreOffice Calc Datei

Unterschiede bei dynamischen Veränderungen der Objekte und Hindernisse für die Diffusion bei Bewegung

Bedingte Formatierung

Die bedingte Formatierung hat in der Tabellenkalkulation die folgenden Funktionen:

• die Konzentrationsunterschiede durch unterschiedlich Farben zu kennzeichnen

• rot=hohe Konzentration,
• gelb=mittlere Konzentration,
• grün=geringe Konzentration

• Barrieren, Hindernisse und Begrenzungen mathematische (z.B. durch 0 bzw. 1) zu kodieren und in Abhängigkeit von dem Zelleintrag blau oder grau zu markieren.
• bei sich bewegenden Objekten die Unterschiede in einzelnen Zellen zu kennzeichnen

• -1 Mauer, Objekt oder Hinderniss wurde in dem Pixel entfernt (Heck des Autos befindet sich z.B. nicht mehr in dem Pixel)
• 0 keine Veränderung im Pixel
• +1 Mauer, Objekt oder Hinderniss wurde in dem Pixel hinzugefügt (Front des Autos ist z.B. in das Pixel hineingefahren).

SUMMENPRODUKT - Erweitertes Skalarprodukt

Die mathematischen Grundlagen des Summenproduktes werden ausgehend vom Skalarprodukt für mehrere Matrizen definiert. Durch die Erweiterung kann man die erweiterte Definition für mehrere Matrizen nicht mehr als Skalarprodukt bezeichnen, weil die Axiome eines Skalarproduktes nicht mehr erfüllt werden. Das SUMMENPRODUKT ist eine Summe von komponentenweisen Produkten aus 2 oder mehreren Matrizen (siehe Summenprodukt).

Beispiel Tabellenkalkulation

Wir simulieren in dieser Tabelle einen Diffusionsprozess auf einer zweidimensionale Fläche. Diese wird mit Hilfe einer 5x6-Matrix dargestellt. In diese wird zunächst das anfängliche Schadstoffvorkommen eingetragen. Im Anschluss wird festgelegt, wie die Schadstoffe sich von einer Zelle in die benachbarten Zellen verteilen. Dafür wird eine 3x3-Matrix erstellt.

Verteilung der Schadstoffe auf eine Nachbarschaft

In Abhängigkeit von der Nachbarschaftsfestlegung werden die Schadstoffe in der zentralen Zelle anteilig im nächsten Zeitschritt $t+1$auf die Zelle selbst und die Nachzelle verteilt. Wir betrachten zunächst zwei grundlegende Nachbarschaftsdefinitionen:

• Von-Neumann-Nachbarschaft
• Moore-Nachbarschaft

In diesem Beispiel wird die Moore-Nachbarschaft für die Zellbezüge verwendet.