Diskreter Bewertungsring/Endliche integre Erweiterung/Reduzierte Faser/Normal/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein maximales Ideal von ${}R$ . Wir betrachten das kommutative Diagramm

{\begin{matrix}B&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {p}}&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\B/(p)&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R/pR&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&(R/pR)_{\mathfrak {p}}\cong R_{\mathfrak {p}}/pR_{\mathfrak {p}}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}

Als Lokalisierung eines nach Voraussetzung reduzierten Ringes ist der Ring rechts unten reduziert, also hier sogar ein Körper. Dies heißt aber, dass

{}(p)R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,

gilt und das bedeutet, dass ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein diskreter Bewertungsring ist.