Dreiecksgeometrie/Rechtwinkligkeit/Pythagoras/Textabschnitt


Ein Dreieck heißt rechtwinklig, wenn an einem Eckpunkt die anliegenden Seiten orthogonal zueinander sind.


Unter der Hypotenuse versteht man die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.


Unter einer Kathete versteht man eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die an den rechten Winkel anliegt.

Der Satz des Pythagoras lautet für ein rechtwinkliges Dreieck wie folgt.


In einem rechtwinkligen Dreieck

ist der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate.

Die Dreieckspunkte seien mit dem rechten Winkel an . Wir setzen und . Der Verbindungsvektor von nach ist dann gleich und und stehen senkrecht aufeinander. Somit ist


In dieser Formulierung wird verwendet, dass der Flächeninhalt eines Quadrats (also des geometrischen Objektes) gleich dem (arithmetischen) Quadrat der Seitenlänge ist. Der Beweis hat nichts mit Flächeninhalten zu tun.


Zu einem Dreieck in einer euklidischen Ebene heißt die Gerade durch , die senkrecht auf der Geraden durch und steht, die Höhengerade durch . Die Verbindungsstrecke von zur Geraden durch und heißt Höhe durch .

Die Länge der Höhe wird selbst auch oft Höhe genannt.


In einem Dreieck in einer euklidischen Ebene heißt der Schnittpunkt der Höhe durch mit der Geraden durch und der Höhenfußpunkt dieser Höhe.

Der folgende Satz heißt Kathetensatz.


Es sei ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel im Punkt . Es sei die Höhe durch und der Höhenfußpunkt dieser Höhe auf der Geraden durch und .

Dann ist

Wir setzen und . Der Verbindungsvektor von nach ist dann gleich . Wir setzen den Höhenfußpunkt als

mit einem und den Richtungsvektor der Höhe als

an. Die Orthogonalitätsbedingung für die Höhe führt auf

und somit ist

Daher ist


Der folgende Satz heißt Höhensatz.


Es sei ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel im Punkt . Es sei die Höhe durch und der Höhenfußpunkt dieser Höhe auf der Geraden durch und .

Dann ist

Beweis

Siehe Aufgabe.


Der folgende Satz heißt Kosinussatz.


In einem Dreieck mit den Seitenlängen und dem Winkel an

gilt

Beweis

Siehe Aufgabe.